フェルマーにいたる道その6
といわれるものの一部です。その一番有名なもの。
ディオファンタス方程式を次数nで分類してみると
n=1 は直線上の格子点(整数点) でこれは高校レベル
n=2 は二次曲線上の格子点これも一部をのぞき
と楕円であらわされるときなど。これらは大学入試で
出題されてきました。ではのぞかれた一部は
双曲線上の格子点の場合、ペル方程式といわれます
x^2-2y^2=1 の整数解とかで 解は無限個で
とてもきれいな理論があります。これらの解は
二次体の単数に対応していて、二次体の
単数はアーベル群になります。
前置きがながいというか、楕円曲線の不思議さですが
n=3 が楕円曲線でこれはまだプロが研究中のもので一番
大事なところがまだよくわからないようです。方程式が
図形をあらわすとみたとき、方程式の整数解や有理数解
を格子点、有理点といえば、楕円曲線はその境目にあるよう
簡単のため特異点がある場合をのぞくと
n=<2 , 有理点は無限個または０
4=<n 有理点は有限個 (Faltings の定理)
n=3, 楕円曲線 それぞれの曲線により
有限個のものもあり、無限個のものもある。
楕円曲線を境にして有限個と無限個が分かれます
